Tentin tekstisisältö

 

MAT-01410 ja MAT-10430 Insinöörimatematiikka A4 ja C4
Tentti 9.5.2017 / Kimmo Vattulainen

e Ei laskimia, ei omaa kirjallista materiaalia.
e Kääntöpuolella kaavakokoelma

 

1. a) Mikä on käyrän
r(t) = (t-2,-0+2,2 — 31)

pisteeseen (—1,1,—1) piirretyn tangenttisuoran parametrimuotoinen yhtälö?
b) Missä pisteissä tämä tangenttisuora leikkaa yksikköpallopinnan 2? +y?+2?=1

2. a) Yhdistetyistä funktioista F o G ja G o F vain toinen voidaan muodostaa.
Muodosta se ja laske sen derivaattamatriisi, kun

TY y
F(z,y)= | y? | ja G(z,y,2)= | 2
r? TY

b) Mikä on a)-kohdan yhdistetyn funktion linearisointi pisteessä 2 = 1, y=1?

3. Määritä funktion f(z,y) = z$? + y? — 2xy kriittiset pisteet ja tutki ovatko
minimi-, maksimi- vai satulapisteitä.

4. a) Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittaa ylhäältä pinta z = 27? ja alhaalta
zy-tason kolmiojoukko A, jonka kärkipisteinä ovat pisteet (—3,—1), (3, —1), (0, 2)
b) Kappaleen tilavuutta halutaan pienentää yhden tilavuusyksikön verran poraamal-
la reikä kappaleen läpi siten, että reiän keskiakseli on 2—akselin suuntainen ja kulkee
origon kautta. Mikä reiän halkaisijan pitäisi olla?

Vihje: sin?(0) = 3(1 — cos(20)), cos(9) = (1 + cos(20))

 

 
0 +|(x)/| 1] = zp OT

9 + (a)a(2)n | — (e)a(a)n = op (2) a(a)n /
D + (000) = 0),6008),7 |

 

 

 

A) = ta
my] (amyartana)s J] = npon a"ays"]f

 

ap np

 

 

ao] -+waj][ 2-03]

PP OP p Pas J(p so0d*g us p usa *9 s00 pussa) TI] -
v 1]

(6)14p 0 u
OP 1Pp H(0us4* 9800 4) f [ /- "p ap (6'm)f [f
g

(9) Za

C9YAN + (X)6Av = (X) SA
0= ()y
0= (2)6

(X)6AY = (%)/ A
0= (x)6

wu

'TI

'6

ne

0=f

(105 (Zia + Con 2)) LA = (arap

g

T

wu

(0— 2) (2)7 H (8 — 95 + (0 —3)(0),f + (9)/ = JU

0)

(2)
(2)

(8 — x) (8) 4 + (2):7 = (X) L

0=(9),1: (DSA

9: (X) JA = 9(%),/ = (2) *T

(),1(09:0),0 = (2) (1 2 9)

00
"Se

vp
Je
vro
Je

 

09

(2)
o)

TO

"Se

CxO
Ge
Cao

Je

xo
(5) vo

10g | = a

g
0957

N

LUIJOONJOHEALE S]
Py OP[NIJEUTO EUT

UISUT