Tentin tekstisisältö

MAT-01420 Insinöörimatematiikka B4
Tentti 12.5.2014 / Kimmo Vattulainen

e Vastaa jokainen tehtävä eri konseptille.
e Ei laskimia, ei omaa kirjallista materiaalia.
e Kääntöpuolella kaavakokoelma

1. Käyrän r(t) = (28 +2, € —%) pisteeseen (4,0) piirretty tangenttisuora leikkaa
käyrän myös toisessa. pisteessä. Mikä on tämä piste?
Vihje ratkaisussa mahdollisesti esiintyvään 3. asteen polynomin ratkaisuun.

Jos 3. asteen yhtälön ax3 + bx? + cx + d = O yksi ratkaisu on x = x1, niin yhtälö

 

 

 

voidaan esittää muodossa az? + bx? + cr + d = (x — x1) (ez? + fz+9)=0

2. a) Yhdistetyistä funktioista Fo G ja Go F vain toinen voidaan muodostaa.
Muodosta se ja laske sen derivaattamatriisi, kun

ay? y?
F(z,y)=| € ja G(z,y,2)= | 2
ytTY

b) Mikä on a)-kohdan funktion linearisointi pisteessä 2 = 0, y=1?

3. Mitkä ovat funktion f(z,y) lokaalit ääriarvopisteet ja lokaalit ääriarvot? Mää-
ritä kriittiset ja tutki, ovatko ne lokaaleja minimipisteitä, lokaaleja maksimipisteitä
vai satulapisteitä. Onko funktiolla suurinta ja pienintä arvoa?

f(xz,y) = 2238 + zy? + 57? + y?

4. Osoita, että paraboloidipinta z = 1? +y? jakaa sylinterikappaleen
5 = ((x,y,2) | 0O< + <d, 0<2<ad)

kahteen tilavuudeltaan yhtäsuureen osaan.