Tentin tekstisisältö

MAT-01430 Insinöörimatematiikka C4 = Tentti 22.10.2015

Tentaattori: Petteri Laakkonen
Huom. Ei laskinta, eikä taulukkokirjoja. Kaavaliite alla.
G Osoita, että funktio f(z, y) = — sin(2x)e?! toteuttaa Laplacen yhtälön

2. Of
n =0.

2) Tarkastellaan funktioita F(z, y) = (e%, x? + y) ja G(z,y) = (29,7 + 9,0).
a) Laske funktion F derivaattamatriisi pisteessä (1, 0).
b) Laske funktion G derivaattamatriisi pisteessä (1, 1).
c) Vain toinen yhdistetyistä funktioista F o G ja G o F voidaa muodostaa. Muodosta se

ja laske sen derivaattamatriisi pisteessä (1, 0).

3. Mitkä ovat funktion f(z,y) = x? + x — 7? pienin ja suurin arvo origokeskisessä 2-
säteisessä kiekossa
R= ((x,y) € R? : 7 + <4),

ja missä pisteissä ne saavutetaan?
4. Olkoon T' € R3 tetraedri, joka sijaitsee ensimmäisessä koordinaattikahdeksannessa, eli

7,y,7 2 0, ja jota rajoittavat tasot z = 0, y = 0,2 = 0jaz+y+ 2 = 4. Hahmottele
kappale T ja laske sen massa, kun tiheys funktio on p(z, y, 2) = k, missä k > 0 on vakio.

 

Tentin kaavaliite

i. 7) 2 f(a) + F(a)(x— a)

g(z,y) = 0
ii. < Dzf(z,y) = AD29(2, 4)
D,fF(z,y) = ADy9(%,Y)

x = psinpeos0
iii. 4 y=psingsin0 dx dy dz = p? sind dpdpd0d
2 = peosp
iv. m= []N aoav. 3=|]J zoav. 1.— [N 12? +v960av
T m T a
v. sin?t = E cos? t = ==

vi. (x-p)'n=0