MAT-02650 Algoritmimatematiikka / Hirvonen
Tentti 21.10.2016
Fi laskimia tai kirjallista materiaalia. Kaavakokoelma kääntöpuolella.
Missään tehtävässä pelkän lopputuloksen esittäminen ei riitä, vaan vastauspaperin tulee sisältää
päättely, jolla lopputulokseen päädytään.
1. Olkoon A = £1,3,6,8). Määritellään joukossa A x A relaatiot R ja S siten, että
aRb jos ja vain jos bon luvun a tekijä eli b|a
aSb jos ja vain jos amodbz70
(a) Esitä alkioittain joukko R! n S.
(b) Muodosta yhdistetty relaatio R o S. Onko se refleksiivinen? Onko symmetrinen?
Onko transitiivinen?
2. (a) Olkoon A = £0,1,2,3,4,5). Onko funktio f : A > A, f (2) = (5x) mod6 injektio?
Entä surjektio?
(b) Merkitään + (z,y) = z + y ja div (2,4) = 5: Sievennä (kaikki välivaiheet esittäen)
f (3,4), kun
f =divo(+ o (div, div o (2,1)) , 1) .
3. Alla on erään teorian inferenssitodistus ilman perusteluita. Kopioi tämä vastauspaperiisi
ja täydennä puuttuvat perustelut. Mikä teoria tässä on todistettu?
1 45B
2 BC
3. 2 (4> 0)
4 AN-C
5 A
6. B
T. =C
8 DB
9. BN-B
10. e
11 430
M.O.T. 12,11! CP
4. (a) Todista, että kahden peräkkäisen kokonaisluvun summa on parillinen.
(b) Todista induktiotodistuksella, että n (n +1)(n +2) on jaollinen kuudella kaikille
neEN.
Loogisia ekvivalensseja eli tautologioita
Negaatio
Disjunktio | Konjunktio | Implikaatio Ekvivalenssi
PP
pvt=t |pAt=p |p>t=t P&a=(P> g) A (9—>p)
pVe=p |pie=e p > e= p
PVPp=P |pAp=p |t>p=p
PV-p=t|pit-p=e|e>p=t De Morganin lait
p>p=t "(p Ag) =-pV-g
P>a=pVd |-(pVg)=-pAg
P>d="9> 0
Vai!
hdantalait | Liitäntälait
Osittelulait
PAN
PV
9=49Np | PA(JAr)=(pMg
9=gVP | PV(aVr)=(pvg
AT |PAJVr)= (pAg) V(pAr)
VT |PV(gAr) = (pV9) Alp Vr)
Inferenssisääntöjä
MP MT
ÄÄ B| AB
Conj Simp
A,B ANB
SB EA
J ANB EA
Add DS
A AV B,-B
HS
AS B,B>C
= ANI EA
AC
muista rajoitukset
Ekvivalensseja
UI UG
Va W f(z) W (2)
EG EI
W(t) 32 W (z)
Vaz W (z) = 37 -W (x)
3z (A(x) V B(z)) = 3z A(z) V 3z B(z)
3z (A(z) > B(z)) = Vx A(x) > 3z B(z)
37 Jy W (x,y) = Jy Ar W (x,y)
37 W (x) = Ve -W(z)
Vx (A(x) A B(z)) = Vx A(z) A Vz B(z)
Va Yy W (x,y) = Vy Yz W (2,4)
Vz (CV A(z)) = CV Vx A(x)
3z (CV A(z)) = CV 3z Alx)
Vx (C > A(z)) = C > Vx Alx)
Vz (A(x) > C) = Ax A(z) > C
Vz (CN Al(z)) = CN Vz A(x)
Ax (CA A(z)) =C A3z A(x)
3Az (C > A(z)) =C > 3x A(x)
3z (A(z) > C) = Vz A(z) > C
Implikaatioita
Vz A(x) > J3x A(z) Jr (A(z) A B(z)) > 3z A(z) A3z B(x)
Ve A(x) V Vz B(z) > Vx (A(x) V B(z)) | Ve (A(x) > B(z)) > Vx A(x) > Vr B(z)
Jy Ya W (x,y) > Ve 3y W (x,y)