Tentin tekstisisältö

MAT-20400 Vektorianalyysi
Tentti 23.10.2009
Ei laskimia, taulukot jaetaan

ka

sa

(G) Laske [ F edr, kun F =[3x2+y, -yz, 2xyz] ja C on? N —
c
r(=(1,Vt,1/4f) missä te [1,2].

(ii) Olkoon F(x,y)= (xy +x +y? x? -xX+ 1) ja käyrä C kuten kuvassa.
Laske f F edr- |
c

| o Vn 3 !/)
NY,

| 2

I ;

|

f r k

(6) Määrää F=(yz+Di+xzj+xyk skalaaripotentiaali
(mikäli on olemassa).

(ii) Laske [ Fedr,kun C on jana pisteestä (1, 1, 1)
GC
pisteeseen (V2,/3./6). (F (i)-kohdasta)

Laske vektorikentän F=[2xy,x?-y2,—3z]
vuo puolipallon

Roll yaia2+y2+(2—2]=4222

pinnan läpi. (Huom! Vain puolipallon pinta).

Olkoon F(x, y, z) = yi+5xzj -3xyzk .
Laske If (VxF)endo ,kun n on S:n yksikkönormaali,
S

jonka k koordinaatti on positiivinen (pinnan yläpuoli on positiivinen puoli)
ja S on puolipallon pinta:

x2 + y2t (2 +3)2 =4 z2>-3.
=

n

>

N

»

9.

10.

11.

12.

13.

Nussi- (Ou Teini

Len"

vs paku He

MAT-20400 Vektorianalyysi, kokeen kaavaliite

- (1) YK Vf=0

(2) Ve(VxF)=
(3) V(F e G)=Fx(VxG)+Gx(VxF)+(FeV)G+(Gev)F
(4) Ve(FxG)=Ge(VxF)-Fe(VxG)

(5) Vx(FxG)=F(VeG)- (Fe V)G+(Ge VIF— G(VeF)
(6) Y(fg) = (Vf)g+ fVg

(7) Vel(fG) = (VN) eG+/(VeG)

(8) Vx (fG)= MST 9

(9) VIh(Sr))] = K'(J(r)) Vf(r)

«| 1äs= [s Felt) (Ol dt

; [xc =[ Flel$)er'(t)dt = | FeDds= | när | tody+ | pad:
. fre = ]], (22-28) & dy
a f Fenaso [f (22+ 2) dz dy

JJ 748 = ]] Hteta.vdlratu,v) « retu,v)8 dd
Jf [45 = |] sc mn (5) + (3 N dx dy

Or dy
J[ 2+nas=[f, F(r(u, v) « [ru(u, v) x ry(u, v)] du dv
|f = +nas= JJ» (2.9.22. 4)) (55 1) drdy
J[ 2+nas=|]f vera
f red = [[icvxF) emäs

f(r)= ” Podr
40

x = psindcost

y=psindsind = dV= p? sin & dpdo do
2 = pcosop
1- 2t 1
sin(2t) = 2sint cost sin? £ = 1000 cos? t = Itel
MAT-20400 Vektorianalyysi
tentti 07.10.2008
Ei laskimia, taulukot jaetaan

1. Laske [ Fear, kun —F=[xy,x?-y,x?ydz] ja C on
C

r(1=[-v6,242], te [1,2]

 

2. (i) Määrää f(z) siten, että vektorikentällä +
F=xy2i+(sinz+x2y)j+ yf (2)k
on skalaaripotentiaali .
(ii) Laske [ F-dr, kun C on jana pisteestä
c

(0,1,—7/2) pisteeseen (11,7/2)
(F (i)-kohdasta).
3. Laske vektorikentän F= [2xy,x? T y2,—3c]
vuo puolipallon
R = |ln.02) 2 + y2+(2+2); =4,z 2-2]

pinnan läpi. (Huom! Vain puolipallon pinta).
4. Olkoon = F=[zy-e*,xz?+1n(y),xcos(y)] .

Laske [VxF:ndo, ,kun n on pinnan S
C

yksikkönormaali, ja pinnan positiivinen puoli
on yläpuoli ja S on puolipallon pinta:
x2 + y2+ (2 +3)2 =4, missä 223 .
MAT-20400 Vektorianalyysi Tehtävät 1-4
73040 Vektorianalyysi tehtävät 1-5 ?
tentti 15.1.2007 Laske |[ (VxF)endo ( [[(vxr)nds ) kun n on S:n
Ansaitut bonuspisteet saat palauttamalla tehtäväpaperin ao. S 5
-luennoitsijalle ( Kauhanen 1. jakso, Pirttimäki 2. jakso).
Ei laskimia, taulukot jaetaan

Olkoon F'=yzei+xz1+69)j4+eYk .

 

yksikkönormaali, ja pinnan positiivinen puoli on alapuoli ja S on
puolipallon pinta:
X + y2t (7 +3)2=4, 327.

6) (G) Laske | F edr kun F =[3x2+y, -yz, 2xyz] ja Con
C i
on r(1)=[f),7",r]. te [0,1]

  

   
 
  

Pallon muotoisen säiliön halkaisija on 10 m.
imäärän tilavuus, kun'veden syvyys
pohjan akimman kohdan välinen etäisyys) on 2m.

. 7 J - a PU NN
(ii) Laske $ F-dr , kun F = [cosy,sinx] (siis integraali yli S:n reunan), (Ohje: sylinteri dinaatit ja Pello BdpiTaaNaRemaani)

k s
n S= ((x;y):0Sx<7/,0<y<7/).

 

n kolmio, jonka

y | KY)
N | (Gi) Laske |[ esif = ?)x dy , missä
G) —Määrää kentän P= ytzi+2xyz'j+4xy*z'k skalaaripotentiaali R x+y).
< (mikäli on olemassa). | kärkipisteet ovat (0,0), (0,1), (1,0).

(i) Laske | F-dr,kun C onr(1)=[-44t.vr] , te [1,2],
(FP ()-kohdasta).

(iii) Olkoon r=(x,y,z) ja r=lr ja a vakiovektori.
Laske Ve(axr) ja Ve(r'r) |

a (i) Laske pintaintegraali : [
I[(x-2xy)d0 |

,missä
S

S =[(x,y,z):0<x<1,0<y<2,z=x?)

 

(ii) Laske vektorikentän F'=(x+7,y,7z—x) vuo puolipallon
R=f(x,y,z):*+ y*+(2—2)*=1,z 22)

pinnan läpi. (Huom! Vain puolipallon pinta).

 

 
 

MAT-20400 Vektorianalyysi
Tentti 11.10.2006

 

e Ei laskinta eikä taulukkokirjoja.

e Kirjoita jokaiseen vastauspaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
ja koulutusohjelmasi.

e Jos käytät bonuksia periodin 5/2005-6 kurssilta, niin kirjoita
vastauspaperiin "Periodi 5".

. Olkoon F(z,y,2) = (—y, 7, 2). Laske

[ F edr

O
pisteestä (2, 0,4) pisteeseen (—2, 0,8) sylinterin z?+y? = 4 ja tason z+2 = 6
leikkauskäyrää pitkin, kun kierretään z-akselia positiiviseen kiertosuuntaan
(ts. ollaan joukossa y > 0).

. Laske kentän F(z,y,2) = (2,0,7*) vuo ”ylöspäin” pinnan 2 = n? + y? sen
osan läpi, jolle -1 < x <1ja-1<y<1.

+ Laske kentän F(r) = rr vuo ”onton pallon puolikkaan”

T = ((z,y,2) ERP: 1<P+yP+2 <2, 220)
reunapinnan läpi kappaleesta T' poispäin. Tässä r = (x,y, 2) ja 7 = |r]].
. a) Anna pinnalle
S =((xz,y,2) ERP: 2z=9—-2?—, 220)

parametrisointi r(r, 9) napakoordinaatteja 7 ja 0 käyttäen. Anna myös para-
metriavaruus R (ts. parametrien rajat).

b) Laske a-kohdan parametrisoinnin antama normaalivektori N(r, 0).

c) Laske pinnan 9 pinta-ala a-kohdan parametrisointia käyttäen.