Tentin tekstisisältö

MAT-20451 Fourier'n menetelmät Tentti 28.3.2011

— Ei muistiinpanoja, kirjallisuutta, laskinta.
— Jokaiseen paperiin nimi ja opiskelijanumero.

1. Olkoon T-jaksoisella funktiolla f(r) Fourier-sarja

00
f()= a n + )) (an cosnot + b, sinnot),
2 n=1
missä »=27/T ja missä kertoimet ovat toistaiseksi tuntemattomia. Johda
eli päättele seuraavasti: integroi yhtälö

f(t) sin(of) = = sin(0f) +

+ Y (a, cos(nor) sin(vf) + b, sin(not) sin(v?))

n=1
T/2
puolittain [...dt ja oleta, että yhtälön oikea puoli saadaan integroida
-T/2

yhteenlaskettava kerrallaan. Päättele jokaiselle oikean puolen integraalille
arvo hyödyntäen integroitavan parittomuus ja tieto

2 sin(a) sin(b) = cos(a-b) — cos(a+b).

(Yhdelle sarjan kertoimista pitäisi näin syntyä laskukaava.)

2. Laske funktion Fourier-sarjan kompleksiversiolle kaikki kertoimet
] d+7 "N 1 dT d+T
en== | M0e NY dt==( [f(t)cos(nor)dt-j | f(t)sin(not) dt)
T a T a d
kun f(1)=|sin(r) |. Muodosta lopuksi funktion kompleksinen Fourier-
sarja

00 .
[()= Yene".
n=-o
Vihje 1: Hahmottele funktion kuvaajaa ja päättele sen avulla 7 sekä o.
Vihje 2: Integroitava parillinen tai pariton ja reaalinen.

Vihje 3: 2 sin(a) cos(b) = sin(a-b) + sin(a+b).

 

Käännä!
3. Tunnetaan Fourier-muunnos F(jo)=2A4Tsinc(oT) tasapulssille

4 ([r|<r)

0 (muulloin)

10=| =A [H(t+7T)- H(t-T)]
Päättele Fourier-muunnos

a) tasapulssille z(f) = H(t+3)- H(f-3),

b) ikkunoidulle sinille y(f) = sin(2r) [H(? + 3) — H(t- 3)],
e) ikkunoidulle sinille x(f) = sin(31) [H(t) — H(t — 6)).

Tiedetään, että A*=cosx+jsinx,

joten e =cosx-jsinx ja e&d+eP=2cosx ja &d*-eP=2jsinx.

Ominaisuuksia: Jos F(f(0)) = F(jo), niin F(f(-1)) = !HTF Go) ja Fld"'f) =
F G(0-a)) ja F(FG1N) =2rf(-0).

4. Johda symmetriaominaisuuden avulla Fourier-muunnos
a) ensin funktiolle f(f) = sine(5t),
b) sitten funktiolle g(f) = sine(5t — 20).

e) Sievennä b-kohdassa saadun muunnoksen amplitudi eli itseisarvo
mahdollisimman yksinkertaiseksi.