Tentin tekstisisältö

MAT-10352 INSINÖÖRIMATEMATIIKKA B5.
TENTTI 26.5.2010.(Pirttimäki).
Ei laskinta, kaavat kääntöpuolella.

1; (G) Laske
If sin (m? Ja
R

kun R on kolmio, jonka kärkipisteet ovat (0, 0), (1, 0)
ja (1, 2).

(ii) — Laske sen kappaleen tilavuus, jonka pohjana on yksikköympyrän
(x? + y? =1) se osa jossa y20 ja yläpintana taso z=3-x-y.
2. Olkoon A joukko, jota rajoittavat suorat x+y=1,x+y=2,x=0,y=0.
Laske
I 004 X=Y |4a
A X+Y

Ohje: Suorita muuttujanvaihto (u=x-y, v=...) ja käytä kaavaa 1
kaavakokoelmasta.

4 ; 1—x
3. (1) Ratkaise AAP:y'=""%, yll)=-1.
(i) atkaise y E yl )

(HUOM! Ilmoita ratkaisu muodossa y=...)

(ii) Ratkaise alkuarvoprobleema
y"-3y'+2y=-8e".

4. Ratkaise DY-ryhmä

v) = 2x(1)+3y(f)
y0 —x(1)-2y(f)

Alkuarvolla x(0)=1,y(0)=1
MAT-1035X Insinöörimatematiikka 5 / vihjeitä

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X, y)
1. G f(x, yhdxdy = JJ x(u, v), ylu, v)) n dudv 9. y" 40? y = peoswx+gsinox
R R ; ag j Pp
xy uv = mind mP
ylx) = Axcos mx + Bxsin wx, 5 Ja B a
2 IHx,y) Hu, v) e
Y Hu, v) Ax, y) 10. ym kan 1 yt D4+ajy'tapy=0
3. m = ffcx. ylhdä, J = [fax y)? plx,y) da (i) yksinkertainen reaalijuuri 41; ratkaisu eMX
a R a+ jB; ratkaisut
xo =—[fxpx,ydda. yo sl ypix,y)da
R e* cospx ja e"**sinfx
x =psin pcos0 (iii) k-kertainen reaalijuuri 41, ratkaisut
4. y -=psingsin0 => AKI 2 sing Mx AX 2.Mx k-1 Ax
Ap, ,0) el, xeD, xte 11%, x e!
Z = pcosp
(iv) k-kertainen imaginaarijuuripari a+ jB, ratkaisut
dy -Alx) A(x)
5. ax * ANY- f(x); y=e (f109e dx+C). A! (x) = a(x) e* cos fix, xecosfx, ... x 1 e cos px
e sin px, x e** sin Bx, sin Px
6. Ylx) = c1(x)y1(x)+ c2(x) yo(x)
: , 11. x'=Ax+blt) ...... x(t) = X(t) c + xplt)
C1 (x) y1(x) + c2 (x)y2(x)= 0
' ' ! ! X(t)=| vy e*It, voetat.. vyettt
cj (X)y] (x) + c9 (Xx)yy (x) = f(x) 1 2 ve VA
i Ait Ait
7. acosut + bsin wt = A sin(wt + 6) M 2 =a + jp, W12 =u+jv ,....., Relwje'!"), Im(wje'!')
= /a2 41? ja cosg=",sing=2 eli 0 = aretan > (sn) 12. x'-Ax+e"tk .... x(t)=e*tv ... (A-A)v=-k
13. Integrointikaavoja:
8. f(x) = ce" e
((gD)s'(Ddt = F(ad) F'-f ax I
ylx) = Ke"* jos a ei ole kar. yhtälön juuri f g(0)g (t)dt = Flgld)F == To * = Im [fx]
säi Ax 4, KIA A s s
ylx) =Kxe jos a on kar. yhtälön 1-kertainen juuri fax JW'(x)dx = ulx)v(x) = [ v(x)u'(x)dx
a

ylx) =Kx?e** jos a on kar. yhtälön 2-kertainen juuri dv(x)