Tentin tekstisisältö

4| MAT-20451 Fourier'n menetelmät
Tentti 3.9.2013 / Merja Laaksonen

<

   

- Ei muistiinpanoja, kirjallisuutta, laskinta.

=

1. Funktio f on määritelty yhtälöillä

n, kun —1<t<0 5
Ni : 1 +2) = F():
0 0 kun 0<1<1l, F(6+2) = F(0:

Laske määritelmän mukaisesti sille trigonometrinen Fourier-sarja.

2. Funktiolla f on jaksona T. Sen Fourier-sarjan kertoimet c,,n = 0,1,2,...0n
annettu ja niistä ainoat nollasta eroavat kertoimet ovat c, = 1 + j ja co = 3.
Esitä F-sarjan arvot määrittävä lauseke sievennettynä kolmessa eri muodossa
(Fourier-sarjan eksponenttimuoto, trigonometrinen muoto ja ns. kolmas muo-
to).

3. Diskreetin muunnoksen (DFT) yhteydessä on otoskoolla N merkitystä. Muun-
noksena saatu jono on paitsi jaksollinen niin myös symmetrinen, mikä vaikuttaa
siihen, että osa laskemistamme jonon jäsenistä on laskuissa tarpeellinen, mutta
tietoa ei voi käyttää. Osoita symmetria eli

GG.
Havainnollista teoriaa piirtämällä oma kuvitteellinen amplitudispektri, missä

näkyy selkeästi jaksollisuus ja symmetria. Kerro, missä on se osuus, josta voi
arvioida oikeita taajuuksia.

4. Laske signaalin f:
1
P= >=
— +1
kokonaisenergia. Montako prosenttia signaalista kuuluu taajuusalueelle |&| <
4? Jätä vastaus sellaiseen muotoon, että tavallisella funktiolaskimella voidaan
laskea likiarvona tuo kysytty prosenttiluku.

 

Tehtävässä voi olla hyötyä tuloksesta: % fe-! N == ä
OSTI